1.Տրված է y = x2 ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Այն y-ների առանցքի երկայնքով ձգեցին a անգամ, այնուհետև տեղաշարժեցին b միավորով ձախ և c միավորով ներքև։ Արդյունքում ստացվեց y = 5 (x + 4)2 − 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Գտնել a-ն, b-ն ու c-ն։
a=5, b=4,c=(-2)
2․ Տրված է y = − x2 ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Այն y-ների առանցքի երկայնքով ձգեցին 3 անգամ, այնուհետև տեղաշարժեցին 5 միավորով աջ և 7 միավորով վերև։ Ո ՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվեց։
y=-3(x-5)2+7
3․ Տրված է y = x2 ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Այն սեղմեցին a անգամ, այնուհետև տեղաշարժեցին 4 միավորով ներքև։ Արդյունքում ստացվեց y = 1/8 x2 − 4 ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Գտնել a-ն։
a=1/8
4․ Տրված է y = x2 ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Ի՞նչ ձևափոխություններ է պետք կատարել, որպեսզի ստացվի հետևյալ ֆունկցիայի գրաֆիկը. ա) y = 3x2 − 5, Այն y-ների առանցքի երկայնքով ձգեցին 3 անգամ, այնուհետև տեղաշարժեցին 5 միավորով ներքև։
բ) y = (x − 2)2 − 15, Այն x-ների առանցքի երկայնքով տեղաշարժեցին 2 միավորով աջ և 15 միավորով ներքև։
գ) y = 4(x − 3)2 + 6։ Այն y-ների առանցքի երկայնքով ձգեցին 4 անգամ, այնուհետև տեղաշարժեցին 3 միավորով աջ և 6 միավորով վերև։
5․ Տրված է f(x) = 2 (x − 5)2 + y0 ֆունկցիան։ Հայտնի է, որ այդ ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը [6, + ∞) միջակայքն է։ Գտնել f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի գագաթի կոորդինատները։
(5,6)
6․ Տրված է f(x) = 4(x − 1)2 + y0 ֆունկցիան։ Ֆունկցիայի գրաֆիկի գագաթը (1, − 3) կոորդինատներով կետն է։ Գտնել y0-ն։ Գտնել f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի և Oy առանցքի հատման կետի կոորդինատները։
(0,1)
7․ Տրված է f(x) = − 4/5 (x − 5)2 + y0 ֆունկցիան։ Հայտնի է, որ f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը Oy առանցքի հետ հատվում է (0, − 9) կետում։ Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի գագաթի կոորդինատները։
(5,11)
8․ Ինչպիսի՞ տեղաշարժեր է պետք կատարել f(x) = (x − 1)2 + 6 ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ, որպեսզի ստացվի g(x) = (x + 2)2 − 1 ֆունկցիայի գրաֆիկը։
Գրել խնդրում են f(x)=x^2 գրաֆիկը տեղափոխելու արդյունքում ստացվող ֆունկցիաները։
ա) 2 միավորով աջ → փոխարինում ենք x-ն՝ x−2-ով: y=(x−2)2\boxed{y=(x-2)^2}y=(x−2)2
բ) 5 միավորով ձախ → x-ը դարձնել x+5: y=(x+5)2\boxed{y=(x+5)^2}y=(x+5)2
2.
f(x)=3x^2 գրաֆիկը տեղափոխել՝
ա) 4 միավորով ձախ → x→x+4: y=3(x+4)2\boxed{y=3(x+4)^2}y=3(x+4)2
բ) 1 միավորով աջ → x→x-1: y=3(x−1)2\boxed{y=3(x-1)^2}y=3(x−1)2
3.
Տվյալ է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղափոխելով ա) 5 միավորով աջ, կամ բ) 12 միավորով ձախ, — ստացվել է y=x2y=x^2y=x2։ (Այս խնդիրը կարող է ընթերցվել երկու տարբեր կերպ՝ որպեսա) և բ) տարբեր առանձին դեպքեր կամ որպես հաջորդական տեղափոխումներ։ ամենատարածված մեկնաբանություններն՝)
Մեկ. Եթե հարցը բաժանված է՝ երկու տարբեր փորձարկում էին՝
Եթե տեղափոխում են 5 միավոր աջ և ստացվել է y=x2y=x^2y=x2, ապա f(x−5)=x2 ⇒ f(x)=(x+5)2.f(x-5)=x^2\ \Rightarrow\ f(x)=(x+5)^2.f(x−5)=x2 ⇒ f(x)=(x+5)2.
Եթե տեղափոխում են 12 միավոր ձախ և ստացվել է y=x2y=x^2y=x2, ապա f(x+12)=x2 ⇒ f(x)=(x−12)2.f(x+12)=x^2\ \Rightarrow\ f(x)=(x-12)^2.f(x+12)=x2 ⇒ f(x)=(x−12)2.
Երկրորդ (հաջորդական) interpretación. Եթե սկզբում տեղափոխել են 5 միավոր աջ, ապա այդ արդյունքը կրկին տեղափոխել 12 միավոր ձախ, և վերջնականը է y=x2y=x^2y=x2, ապա ընդհանուր տեղաշարժը կլինի ձախ 7 (ներկայում՝ աջ5 ապա ձախ12 = ձախ7): f(x+7)=x2 ⇒ f(x)=(x−7)2.f(x+7)=x^2\ \Rightarrow\ \boxed{f(x)=(x-7)^2}.f(x+7)=x2 ⇒ f(x)=(x−7)2.
(Առավել հավանական՝ դպրոցական վարժությունում մտադրվել է հենց առաջին՝ միապաղ պատասխանների տարբերակը—և ընդունվում են երկու «անկախ» պատասխանները կամ՝ հաջորդական տարբերակը՝ ինչպես վերևի բացատրություններում։)
4.
f(x)=x^2-ը տեղափոխել՝
ա) 2 միավորով աջ և 4 միավորով ներքև → առջևի տեղաշարժը դրդում է x→x-2, իսկ ներքև տեղաշարժը -4։ y=(x−2)2−4\boxed{y=(x-2)^2-4}y=(x−2)2−4
բ) 5 միավորով ձախ և 1 միավորով վերև: y=(x+5)2+1\boxed{y=(x+5)^2+1}y=(x+5)2+1
գ) 2 միավորով ներքև և 1 միավորով աջ (շրջանակի հերթը չի փոխում վերջնական արտահայտությունը՝ առաջինը անում ենք x→x-1, ապա -2): y=(x−1)2−2\boxed{y=(x-1)^2-2}y=(x−1)2−2
դ) 3 միավորով ձախ և 5 միավորով ներքև: y=(x+3)2−5\boxed{y=(x+3)^2-5}y=(x+3)2−5
5.
Պարզել/պատկերացնել գրաֆիկը (կանդրադառնամ գագաթին եւ ուղղությանը՝ հեշտ պատկերացնելու համար).
ա) y=(x+4)2y=(x+4)^2y=(x+4)2 — գագաթը (−4,0)(-4,0)(−4,0), բացվում է վերև (a=1>0). բ) y=(x−1)2−3y=(x-1)^2-3y=(x−1)2−3 — գագաթը (1,−3)(1,-3)(1,−3), բացվում է վերև. գ) y=(x+6)2+8y=(x+6)^2+8y=(x+6)2+8 — գագաթը (−6,8)(-6,8)(−6,8), բացվում է վերև. դ) y=(x−4)2+7y=(x-4)^2+7y=(x−4)2+7 — գագաթը (4,7)(4,7)(4,7), բացվում է վերև.
(Ընդհանուր կանոն՝ y=a(x−x0)2+y0y=a(x-x_0)^2+y_0y=a(x−x0)2+y0 դեպքում գագաթը (x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0).)
7.
Համեմատել ճյուղերի ուղղությունը (աղեղները վերև/ներքև) և արդյոք հատում են x-ների (աբսցիս) առանցքը՝
ա) y=(x−1)2+3y=(x-1)^2+3y=(x−1)2+3 — коэффициентը a=1>0a=1>0a=1>0 ⇒ բացվում է վերև, գագաթը (1,3)(1,3)(1,3) գտնվում է x-անվագծի վերևում ⇒ ոչ, x-անվագիծը չի հատվում։
բ) y=−2(x−5)2+6y=-2(x-5)^2+6y=−2(x−5)2+6 — a=−2<0a=-2<0a=−2<0 ⇒ բացվում է ներքև, գագաթ (5,6)(5,6)(5,6). Չկա պատասխանը՝ արմատները գտնենք՝ −2(x−5)2+6=0⇒(x−5)2=3⇒x=5±3.-2(x-5)^2+6=0\Rightarrow (x-5)^2=3 \Rightarrow x=5\pm\sqrt{3}.−2(x−5)2+6=0⇒(x−5)2=3⇒x=5±3.
Որպեսզի լինի իրական հատում՝ ունենք երկու իրական լուծ. → հատում է (2 հատման կետ).
գ) y=5 (x+3)2−7y=\sqrt{5}\,(x+3)^2-7y=5(x+3)2−7 — a=5>0a=\sqrt5>0a=5>0 ⇒ բացվում է վերև, գագաթ (−3,−7)(-3,-7)(−3,−7) (գագաթը նեղ տողի տակ է), նշանակություն ունի՝ ստացվում են արմատներ՝ 5 (x+3)2−7=0⇒(x+3)2=75>0\sqrt5\,(x+3)^2-7=0\Rightarrow (x+3)^2=\dfrac{7}{\sqrt5}>05(x+3)2−7=0⇒(x+3)2=57>0
ժողովուրդ՝ ունենք երկու իրական լուծ → հատվում է (2 կետ)։
դ) y=−7(x−8)2−14y=-7(x-8)^2-14y=−7(x−8)2−14 — a=−7<0a=-7<0a=−7<0 ⇒ բացվում է ներքև, գագաթ (8,−14)(8,-14)(8,−14) գտնվում է x-անվագծից ցած, և քանի որ ճյուղերն էլ վար են, פונկցիան ամբողջովին կլինի x-անվագծից ցած՝ չի հատում։
ե) y=4x−16y=4x-16y=4x−16 — սա ոչ պարաբոլ է, այլ ուղիղ գիծ։ X-անվագիծը հատվում է՝ 4x−16=0⇒x=44x-16=0\Rightarrow x=44x−16=0⇒x=4 ⇒ խաչվում է (մի կետ)։ (Եթե հարցը պահանջում էր միայն պարաբոլներ՝ նշենք, որ սա պարաբոլ չէ.)
զ) y=−3(x+4)2−15y=-3(x+4)^2-15y=−3(x+4)2−15 — a=−3<0a=-3<0a=−3<0 ⇒ բացվում է ներքև, գագաթ (−4,−15)(-4,-15)(−4,−15) գտնվում է x-անվագծից ցած ⇒ չի հատում։
1.y = f(x−166) գրաֆիկը ստացվելու համար y=f(x) գրաֆիկը պետք է տեղափոխել 166 միավոր դեպի աջ։ Պատասխան՝ աջ։
2. Եթե y=6x17y=6x^{17}y=6×17 գրաֆիկը Ox ուղղությամբ տեղափոխում են 16 միավոր դեպի ձախ, ստացվում է y=6(x+16)17 \boxed{\,y=6(x+16)^{17}\,}y=6(x+16)17.
3. Ֆունկցիայի y=12(x−198)13+62 \;y=\tfrac12(x-198)^{13}+62\;y=21(x−198)13+62 ստացման համար y=\tfrac12 x^{13}-ի գրաֆիկը պետք է տեղափոխել՝
198198198 միավոր՝ x-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի աջ (ֆակտորի պատճառով x-198), եւ
626262 միավոր՝ y-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի վեր. (Ըստ տրված варианտների՝ 198 — ընտրությունը՝ x-երի ըստ աջ, իսկ 62 — դ) y-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի վեր)
4. Եթե y=10x3y=10x^{3}y=10×3 գրաֆիկը Oy ուղղությամբ 8 միավոր դեպի վեր տեղափոխեն, նոր ֆունկցիան կլինի y=10×3+8 \boxed{\,y=10x^{3}+8\,}y=10×3+8.
5. Տրված f(x−a)f(x-a)f(x−a) — այստեղ՝՝ a>0a>0a>0 ⇒ գրաֆիկը աջ a միավոր; a<0a<0a<0 ⇒ գրաֆիկը ձախ |a| միավոր. Ուստի յուրաքանչյուրի համար՝
ա) a=3a=3a=3 — աջ 3.
բ) a=2a=2a=2 — աջ 2.
գ) a=−1a=-1a=−1 — f(x-(-1))=f(x+1) ⇒ ձախ 1.
դ) a=3a=3a=3 — աջ 3.
ե) a=−2a=-2a=−2 — ձախ 2.
զ) a=4a=4a=4 — աջ 4.
է) a=−3a=-3a=−3 — ձախ 3.
ը) a=−2a=-2a=−2 — ձախ 2.
(Եթե ուզում ես՝ կարող եմ յուրաքանչյուրի համար տալ օրինակային կոորդինատներ կամ նշված գրաֆիկը գծել՝ կետ առ կետ.)
6. Տրված է f(x−2)f(x-2)f(x−2)-ի գրաֆիկը։ Чтобы получить f(x)f(x)f(x) необходимо տեղափոխել այդ գրաֆիկը 2 միավոր դեպի ձախ (որպեսզի քաշենք կրկին սկզբնական f(x)f(x)f(x) դիրքին)։
Տառային արտահայտությունում մեկ փոփոխականի առաջին կարգի բազմանդամ արտադրիչն անվանենք գծային արտադրիչ։ Օրինակ՝ (x − 2)(x − 5) արտահայտությունում x − 2 և x − 5 արտահայտությունները գծային արտադրիչներ են, իսկ (x + 1)(x − 3) + 7-ում գծային արտադրիչ չկա։ Գծային արտադրիչներից կազմված տառային արտահայտության նշանը պարզելը հեշտ է։
Օրինակ 1 Պարզենք (x − 2)(x − 700) արտահայտության նշանը, երբ x = 4: Լուծում։ x − 2 արտահայտության արժեքը x = 4 դեպքում դրական է, քանի որ 4 − 2 > 0: x − 700 արտահայտության արժեքը x = 4 դեպքում բացասական է, քանի որ 4 − 700 < 0: Ուրեմն (x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը x = 4 դեպքում բացասական է։
Պարզվում է, որ կարող ենք հեշտությամբ պարզել օրինակ 1-ի արտահայտության նշանը x-ի բոլոր արժեքների համար։ Նախ որոշենք, թե երբ է (x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը 0։ Այն 0 է, երբ արտադրիչներից որևէ մեկը 0 է, այսինքն՝ երբ x = 2 կամ x = 700: Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերենք 2 և 700 կոորդինատներով կետերը։ Այդ կետերով կոորդինատային առանցքը բաժանվում է երեք մասի՝ (−∞, 2), (2, 700) և (700,+∞): Այժմ դիտարկենք x կոորդինատով կետի հնարավոր դիրքերը։
1) x կոորդինատով կետը գտնվում է (700, +∞) միջակայքում՝ x ∈ (700,+∞): Այս դեպքում x-ը 2 և 700 կոորդինատներով կետերից աջ է, այսինքն՝ x − 2 և x − 700 արտահայտությունները դրական են։ Քանի որ դրական թվերի արտադրյալը դրական է, ուրեմն՝ (x − 2)(x − 700) > 0:
2)x ∈ (2, 700): Այդ միջակայքում գտնվող կետերը գտնվում են 2-ից աջ, 700-ից՝ ձախ։ Ուրեմն՝ x − 2 > 0 և x − 700 < 0: Փաստորեն (x − 2)(x − 700) արտահայտության արտադրիչներից մեկը դրական է, իսկ մյուսը՝ բացասական։ Ուրեմն՝ (x − 2)(x − 700) < 0:
3)x ∈ (−∞, 2): Այս դեպքում x-ը գտնվում է 2-ից և 700-ից ձախ՝ x − 2 < 0 և x − 700 < 0: Ուրեմն՝ (x − 2)(x − 700) > 0:
Ամփոփենք.
(x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը 0 է, երբ x = 2 կամ x = 700։
(−∞, 2) և (700, +∞) միջակայքերին պատկանող x-երի համար (x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը դրական է։
x ∈ (2, 700) դեպքում՝ (x − 2)(x − 700) < 0: Այս ամենը կոորդինատային առանցքի վրա կարող ենք պատկերել սխեմատիկ.
Կոորդինատային առանցքի վրա նշենք 2 և 700 կոորդինատներով կետերը:
Յուրաքանչյուր միջակայքի վրա նշենք այդ միջակայքում (x − 2)(x − 700) արտահայտության նշանը բնութագրող + կամ – նշանը։
(−∞, 2), (2, 700) և (700, +∞) միջակայքերը կոչվում են (x − 2)(x − 700) արտահայտության նշանապահպանման միջակայքեր։ Այդ միջակայքերից յուրաքանչյուրում արտահայտության նշանը նույնն է։ Ինչպես տեսնում ենք, հարևան միջակայքերում արտահայտության նշանները տարբեր են։ Այդ օրինաչափությունը խախտվում է, երբ գծային արտադրիչներից որևէ մեկի ցուցիչը զույգ է։
Օրինակ 2 Պարզենք (x − 3)2(x − 1)(x + 5) արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Լուծում։ (x − 3)2(x − 1)(x + 5) արտահայտության արժեքը 0 է դառնում, երբ արտադրիչներից որևէ մեկը հավասարվում է 0-ի, այսինքն՝ x = −5, x = 1 և x = 3 դեպքերում: Կոորդինատային առանցքը −5, 1 և 3 կետերով բաժանվում է չորս միջակայքի՝ (−∞, −5), (−5, 1), (1, 3) և (3, +∞): Այդ միջակայքերից յուրաքանչյուրի համար կարող ենք հեշտությամբ որոշել արտահայտության նշանը։ Պարզվում է, որ (−5, 1) միջակայքում արտահայտությունը բացասական է, իսկ մնացած միջակայքերում՝ դրական։
Ինչպես տեսնում ենք, 3 կետից ձախ ու աջ միջակայքերում արտահայտության նշանը նույնն է։ Պատճառը x − 3 արտադրիչի ցուցիչի զույգ լինելն է։ (x − 3)2 բացասական լինել չի կարող, ուստի չի ազդում արտահայտության նշանի վրա․ արտահայտության նշանը 3 կետից ձախ ու աջ նույնն է։ Գծային արտադրիչներից կազմված արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերի սխեմատիկ պատկերը կարող ենք գծել հետևյալ պարզ եղանակով. • Կոորդինատային առանցքի վրա նշենք բոլոր գծային արտադրիչների արմատները: • Ընտրենք նշվածներից մեծ թիվ և այդ միջակայքում (ամենաաջ միջակայքում) պարզենք արտահայտության նշանը: • Շարժվենք ձախ։ Ամեն անգամ առանցքի վրա նշված a կետից ձախ անցնելիս նայենք արտահայտության մեջ x − a արտադրիչի ցուցիչին։ Եթե այն կենտ է, ապա a-ից ձախ անցնելիս արտահայտության նշանը փոխվում է, իսկ եթե զույգ է՝ մնում է նույնը։ Եթե x − a արտադրիչի ցուցիչում ոչինչ գրված չէ, ուրեմն ցուցիչը 1 է՝ x − a = (x − a)1 :
Առաջադրանքներ․
1)Պարզե՛ք արտահայտության նշանը փոփոխականի տվյալ արժեքի դեպքում (նշված կետում)․
ա) (x − 1)(x − 34), x = 11 բացասական։
բ) (x − 3)(x − 0.7), x = 2.2 բացասական:
գ) (x + 2)(x − 7), x = 9 դրական:
դ) (x − 4)(x − 9), x = 13 դրական:
ե) (x + 5)(x − 8), x = −10 դրական:
զ) (x − 5)(x + 10), x = 6 դրական:
2)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x − 2)(x − 8)
բ) (x − √6)(x +√8 )
գ) (x − 10)(x − 100)
դ) (x + √15 )(x − 5 √2 )
ե) (x − 2√7 )(x + 2)
զ) (x − 3√6 )(x + 4)
Այցված արտահայտություն
Արմատներ
Միջակայքներ
Նշան
(x − 2)(x − 8)
2, 8
(−∞,2)
+
(2,8)
−
(8,+∞)
+
(x − √6)(x + √8)
−√8, √6
(−∞,−√8)
+
(−√8,√6)
−
(√6,+∞)
+
(x − 10)(x − 100)
10,100
(−∞,10)
+
(10,100)
−
(100,+∞)
+
(x + √15)(x − 5√2)
−√15,5√2
(−∞,−√15)
+
(−√15,5√2)
−
(5√2,+∞)
+
(x − 2√7)(x + 2)
−2,2√7
(−∞,−2)
+
(−2,2√7)
−
(2√7,+∞)
+
(x − 3√6)(x + 4)
−4,3√6
(−∞,−4)
+
(−4,3√6)
−
(3√6,+∞)
+
3)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում. ա) (x − 2)(x − 5)(x − 6)
4)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում. ա) (x + 2)(3x − 9)
բ) (4x − 20)(x + 3/7 )
գ) (6x − 5)(x + 3)
դ) (2x − 8)(3x + 21)
ե) (2x + 1/3 )(x − √11 )
զ) (x + 4)(3x − 7)
ԼՈՒԾՈՒՄ։ գ) (6x − 5)(x + 3)-ի արտահայտության առաջին արտադրիչից 6-ը ընդհանուր հանենք՝ (6x − 5)(x + 3) = 6(x − 5/6 )(x + 3)։ Նշանապահպանման միջակայքերն են՝ (−∞, −3), (−3, 5/6) և (5/6, +∞)։ Առաջին և երրորդ միջակայքերում դրական է, իսկ երկրորդում՝ բացասական։
Թեմա՝ Երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգի լուծման տեղադրման եղանակ։
Այս դասին դիտարկվում են երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգեր, որոնցում անհայտների բոլոր գործակիցները զրոյից տարբեր են և համեմատական չեն:
Յուրաքանչյուր այդպիսի համակարգ ունի միակ լուծում:
Երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի լուծման տեղադրման եղանակի ալգորիթմը:
1. Համակարգի հավասարումներից որևէ մեկից (սովորաբար ավելի պարզից) արտահայտել փոփոխականներից մեկը մյուսի միջոցով, օրինակ՝ առաջին հավասարումից արտահայտել x-ը y-ի միջոցով:
2. Ստացված արտահայտությունը տեղադրել մյուս (երկրորդ) հավասարման մեջ, օրինակ՝ x-ի փոխարեն:
3. Լուծել մեկ անհայտով հավասարումը, օրինակ՝ y-ի նկատմամբ (գտնել y-ը ),
4. Երրորդ քայլում գտնված y-ի արժեքը տեղադրել y-ի փոխարեն՝ առաջին քայլում ստացված հավասարման մեջ և գտնել x-ը:
5. Գրել պատասխանը:
Օրինակ: Լուծենք հետևյալ հավասարումների համակարգը:
1) Առաջին հավասարումից ստանում ենք՝
x−2y=3 => x=3+2y
2) Ստացված արտահայտությունը տեղադրում ենք երկրորդ հավասարման մեջ՝ x-ի փոխարեն՝
Թեմա՝ Երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարումներ։
ax+by+c=0 (1)
տեսքի հավասարումը, որտեղ a, b, c-ն տված թվեր են, ընդ որում a և b թվերից գոնե մեկը տարբեր է զրոյից, իսկ x-ը և y-ը անհայտներ են, անվանում են x և yերկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում:
Այդ անվանումը կապված է նրա հետ, որ (1) հավասարման ձախ մասը x և y-ի նկատմամբ առաջին աստիճանի կատարյալ տեսքի բազմանդամ է:
a և b թվերն անվանում են անհայտի գործակիցներ, a թիվը՝ x-ի գործակից, իսկ b թիվը՝ y-ի գործակից:
ax, by, c արտահայտություններն անվանում են (1) հավասարման անդամներ: Ընդ որում c թիվն անվանում են ազատ անդամ:
(x0,y0)թվազույգն անավանում են (1) հավասարման լուծում, եթե այդ թվերը բավարարում են (1) հավասարմանը, այսինքն՝ x-իփոխարեն տեղադրելով x0, իսկ y-ի փոխարեն y0`հավասարումը վերածվում է ճիշտ թվային հավասարության՝
ax0+by0+c=0:
ax+by+c=0 , որտեղ b հավասար չէ 0 (2)
տեսքի ցանկացած հավասարում ունի անթիվ բազմության լուծումներ, որովհետև x-ի համար կարող ենք վերցնել ցանկացած x0 արժեք, և հավասարումը լուծելով y անհայտի նկատմամբ կգտնենք
y0=(-c-ax0)/b :
(x0, y0) թվազույգը կլինի (2) հավասարմանլուծում:
Քանի որ x0 թվերը անվերջ շատ են, ապա և (2) հավասարման լուծումները անվերջ շատ կլինեն:
x և yերկու անհայտով տված հավասարումից y-ըարատահայտել x-ով՝ նշանակում է լուծել այդ հավասարումը y-ի նկատմամբ ղ-ի ցանկացած տված արժեքի համար:
Օրինակ
2x-5y+2=0 (3)
հավասարումից y-ը արատահայտենք x-ով և գրենքայդ հավասարման բոլոր լուծումները:
Համարենք x-ը կամայական թիվ է, y-ը անհայտն է և լուծենք(3) հավասարումը:
2x+2=5y
5y=2x+2
y=2/5x+2/5 (4)
Այսպիսով, (3) հավասարման բոլոր լուծումները կլինեն (x;2/5x+2/5) տեսքի, որտեղ x-ը ցանկացած թիվ է:
Դատելով նման կերպ՝ կստանանք, որ
ax+by+c=0, որտեղ տեսքի հավասարումները ունեն անվերջ թվով լուծումներ: Բոլոր այդ լուծումները գրվում են
(-c-by)/a; y) տեսքով, որտեղ y-ը ցանկացած թիվ է:
Առաջադրանքներ
1․ ա) Ո՞ր հավասարումն են անվանում երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում: Բերեք օրինակներ: ax+by+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a, b, c-ն տված թվեր են, ընդ որում a և b թվերից գոնե մեկը տարբեր է զրոյից, իսկ x-ը և y-ը անհայտներ են, անվանում են x և y երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում:
Օրինակ՝ 7x – 9y + 3 = 0 բ) Ի՞նչն են անվանում ax+by+c=0 հավասարման լուծում, որտեղ a և b գործակիցներից գոնե մեկը հավասար չէ զրոյի: Երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարումներ։ 2․ Քանի՞ լուծում ունի x-y+1=0 հավասարումը: Անվերջ։ 3․ Տրված a, b, c թվերով կազմեք առաջին աստիճանի երկու անհայտով հավասարում.
ա) a=5, b=4, c=-2; 5x – 4y + 2 = 0 բ) a=0, b=-3, c=4; – 3y + 4 = 0 գ) a=0, b=2, c=-1; 2y – 1 = 0 դ) a=-5, b=-1, c=0: -5x – y = 0 4․Պարզել x−2y+5=0 երկու անհայտներով գծային հավասարման a, b և c գործակիցները:
a=1 b=-2 c=5
5․ Ցույց տալ, որ (1;-1), (5;-7), (-3; 5) թվազույգերը 3x+2y-1=0 հավասարման լուծումներն են:
Լեո Մելիքյանի բլոգ 